엡실론 델타 정의(2)- 자세히 살펴보기

안녕하세요~ 엡실론 델타 정의글로 다시 돌아왔습니다 ㅎㅎ 

저번 글에서 밝혔듯이, 우선은 간단하고, 쉬운 예시인 일차함수 2x-1의 x=1에서의 상황을 살펴보겠습니다! 제가 아직 matlab에 익숙하지 않아 손으로 쓴 글을 이미지로 첨부하였습니다 ㅎㅎ

보시면 2x-1의 극한값인 1을 기준으로 하여서 양수인 엡실론값이 1, 1/2, 1/4, 1/8... 로 계속하여 줄어들지만 그 때마다 양수값 델타가 1/2, 1/4, 1/8, 1/16으로 존재하는 것을 볼 수 있습니다. 

제가 방점을 두고 싶은 부분은 바로 양수 엡실론의값이 계속해서 작아짐에도 불구하고, 명제를 만족하는 양수 델타가 항상 존재한다는 것입니다.

고등학교에서 배운 함수의 극한의 정의를 떠올려볼까요? x=a에서 함수 f(x)가 극한값 L을 갖는다는 말은 x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)의 값 또한 L과 한없이 가까워진다는 말과 서로 동치입니다.(즉 두 문장이 완전 같은 말이라는 것이죠 ㅎㅎ) 고등학교때의 극한의 정의에서는 "한없이 가까워진다"는 모호한 표현을 사용하여 극한을 설명합니다. 이 부족한 설명을 엡실론 델타 정의에서 "모든 양수 엡실론"과 "양수 델타의 존재성"을 통해서 보충할 수 있게 되는 것이지요 ㅎㅎ 어떻게요? 잠시 중학교때 '수'를 배울 때를 떠올려 볼까요?

서로 다른 실수 사이에는 항상 또 다른 실수가 존재한다.  경험적으로 쉽게 알 수 있는 부분이라 생각하고 이에 대해서는 크게 설명은 하지 않겠습니다.양수란 0보다 큰 모든 실수를 지칭하는 말입니다. 이제 "모든 양수"라는 표현을 잘 뜯어볼까요?

모든 양수라하였으므로, 아무리 절대값의 크기가 작은 0보다 큰 실수 또한 포함됩니다. 이는 직관적인 표현인 "한없이 가까워진다"를 설명할 수 있는 엄밀한 표현입니다.( 다시 한 번 생각해보시기 바랍니다.)

이제 "모든 양수 엡실론에 대응하여 존재하는 양수 델타"를 통해 입실론 델타 정의의 의미를 완전히 파악해봅시다

그 의미를 파악하기 위해서 생각을 약간 뒤집어서 해봅시다. 만약 어떤 양수 엡실론에 대해서는 명제를 만족하는 양수 델타가 없다고 생각해봅시다. 그럼 어떤 그림이 그려질까요? 아마 아래와 같을 것 입니다.

어떤 양수 엡실론_o에 대해서는 그 어떠한 양수 델타에 대해서도 엡델 정의를 만족하지 않음을 알 수 있습니다. 그림은 고등학교의 정의를 떠올리면 단번에 x=a에서 극한값을 갖지 않음을 알 수 있고 말이지요.

대우명제를 활용하면 이제 엡실론 델타정의가 고등학교때 배운 직관적인 정의를 설명함을 알 수 있을겁니다 ㅎㅎ

지루한 글 봐주셔서 감사합니다.

궁금한 점, 혹여나 틀린 점 있다면 댓글로 알려주시면 감사드리겠습니다 ㅎㅎ